1914 von S.N.Bernstein gefundener Satz, der besagt, daß für eine auf einem abgeschlossenen Intervall definierte beliebig oft differenzierbare Funktion, deren Ableitungen gleichmäßig nach unten beschränkt sind, die Taylor-Reihe um jeden Punkt aus dem rechtsoffenen Intervall in einer geeigneten Umgebung des Punktes konvergiert und die Funktion darstellt. Genauer gilt:

Ist − ∞< a₀< a₁< ∞, und gibt es ein s ∈ ℝ so, daß für die beliebig oft differenzierbare Funktion\begin{eqnarray}f:[{a}_{0},{a}_{1}]\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\end{eqnarray} die Ungleichung \begin{eqnarray}{f}^{(n)}(x)\ge s\end{eqnarray} gilt für alle x ∈ [a₀, a₁] und n ∈ ℕ₀, dann konvergiert für jedes a ∈ [a₀, a₁) die Taylor-Reihe T(f, a)(x) von f für alle x ∈ [a₀, a₁) mit \begin{eqnarray}|x-a|\lt {a}_{1}-x,\end{eqnarray} und es gilt \begin{eqnarray}T(f,a)(x)=f(x).\end{eqnarray}