Lexikon der Mathematik: Bernsteinsche Ungleichungen
Abschätzungen für die Ableitungen trigonometrischer und algebraischer Polynome. Die erste Bernsteinsche Ungleichung stellt eine Beziehung her zwischen der Ableitung eines trigonometrischen Polynoms und dessen Maximumnorm.
Es sei \({T}_{n}(x)={a}_{0}+{\sum }_{v=1}^{n}{a}_{v}\,\cos (vx)+{b}_{v}\,\sin (vx)\)ein trigonometrisches Polynom n-ten Grades. Dann gilt:
Dagegen stellt die zweite Bernsteinsche Ungleichung eine Beziehung her zwischen der Ableitung eines algebraischen Polynoms und dessen Maximumnorm.
Es sei Pn(x) = anxn+ an−1xn−1 + … + a1x + a0ein algebraisches Polynom n-ten Grades. Dann gilt für alle x aus dem offenen Intervall (a, b):
Mit Hilfe dieser Ungleichungen lassen sich Aussagen über die Approximationsgüte trigonometrischer sowie algebraischer Polynome herleiten.
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