ein Tupel (B, m, ϵ, Δ, a) mit einem Modul B über dem kommutativen Ring R mit Eins.

Es seien die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. (B, m, ϵ) ist eine Algebra über R mit Einselement 1_B, Multiplikation m : B ⊗ B → B und Einheit ϵ : R → B.
2. (M, Δ, α) ist eine Koalgebra über R mit Komultiplikation Δ : B → B → B⊗B und Koeinheit α : B → R.
3. Die Abbildungen Δ und α sind Algebrenhomomorphismen.

Hopfalgebren sind Bialgebren mit zusätzlichen Eigenschaften. Beispiele von Bialgebren sind die Gruppenalgebren ℝ[G] und die universelle Einhüllende U(L) einer Lie-Algebra über ℝ.

Für das letztere Beispiel ist die Komultiplikation Δ : U(L) → U(L) ⊗ U(L) induziert durch x ↦ x ⊗ 1 + 1 ⊗ x und die Koeinheit α : U(L) → ℝ induziert durch x ↦ 0 (und \({1}_{U(L)}\mapsto {1}_{{\mathbb{K}}}\)).