Lexikon der Mathematik: Bieberbachsche Vermutung
viele Jahre unbewiesene Vermutung innerhalb der Funktionentheorie. Sie lautet: Es sei f ∈ S, d. h. f ist eine in \({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\)schlichte Funktion mit f(0) = 0 und f′ (0) = 1, die Taylor-Reihe von f hat also die Form
\begin{eqnarray}f(z)=z+\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}.\end{eqnarray}
Dann gilt |an| ≤ n für alle n ≥ 2.Ein berühmtes Beispiel einer Funktion in S ist die sog. Koebe-Funktion
\begin{eqnarray}k(z)=\frac{z}{{(1-z)}^{2}}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{z}^{n}.\end{eqnarray}
Hier gilt also an = n. Bieberbach hat im Jahre 1916 gezeigt, daß stets |a2| ≤ 2 gilt, was ihn zu seiner Vermutung veranlaßte.Sie wurde schließlich von de Branges (1984) bewiesen, und dieses Ergebnis heißt heute Satz von de Branges.
Es gilt sogar noch: Ist f ∈ S und |an| = n für ein n ≥ 2, so ist f eine sog. Rotation der Koebe-Funktion, d. h.
\begin{eqnarray}f(z)={e}^{-i\varphi }k({e}^{i\varphi }z)\end{eqnarray}
mit einem ϕ ∈ ℝ.
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