Abbildung von großer Bedeutung beim Studium holomorpher Funktionen unter geometrischen Gesichtspunkten.

Eine Abbildung f : U → V zwischen den Bereichen U und V in ℂ, heißt biholomorph, wenn sie bijektiv ist und sowohl f als auch f^—1 holomorphe Funktionen sind.

Analog zur reellen Analysis beweist man den folgenden Satz:

Die Abbildung f : U → V ist genau dann biholomorph, wenn gilt: f ist holomorph, bijektiv, f^{— 1}ist stetig, und auf ganz U ist f′ ≠ 0. Dann ist

\begin{eqnarray}{({f}^{-})}^{^{\prime} }(w)=\frac{1}{{f}^{^{\prime} }(z)}mit\text{}w=f(z).\end{eqnarray}

Eine holomorphe Funktion f auf einem Bereich U ⊂ ℂ ist genau dann lokal biholomorph, insbesondere lokal umkehrbar stetig, wenn f′ keine Nullstelle hat.

Eine Abbildung zwischen Gebieten in der Ebene ist genau dann lokal biholomorph, wenn sie winkel- und orientierungstreu ist. Diese Eigenschaft liegt vielen Anwendungen der Funktionentheorie, z. B. in der Strömungslehre und Elastizitätstheorie, zugrunde (Biholomorph äquivalente Gebiete).

Man nennt eine stetig differenzierbare Abbildung f : G → ℂ eines Gebietes G ⊂ ℂ lokal konform, wenn sie glatte Wege in glatte Wege überführt (dann hat sie lokal eine stetig differenzierbare Umkehrung) und in jedem Punkt von G winkel- und orientierungstreu ist. Man nennt f konform, wenn f lokal konform ist und G bijektiv auf f (G) abbildet. Insbesondere ergeben diese Überlegungen den folgenden Satz:

Eine Abbildung f von Gebieten in ℂ ist genau dann lokal konform, wenn f lokal biholomorph ist. f ist genau dann konform, wenn f biholomorph ist.

Betrachten wir nun die bijektive Abbildung

\begin{eqnarray}F:\hat{{\mathbb{C}}}-\{0\}\to {\mathbb{C}},F(z)=\frac{1}{z}\mathrm{für}z\ne \infty ,F(\infty )=0.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}f\circ {F}^{-1}:w\mapsto f(\frac{1}{w})\end{eqnarray}

Sei U eine offene Teilmenge von \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Eine Funktion \(f:U\to \hat{{\mathbb{C}}}\) heißt holomorph (meromorph), wenn f auf U — {∞} und f ° F^–1 auf F(U — {0}) holomorph (meromorph) ist.

Es seien G und G* Gebiete in \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Eine holomorphe Abbildung f von G auf G* ist eine auf G definierte meromorphe Funktion f mit f (G) = G*. Für Gebiete in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) werden die Worte „holomorphe Abbildung“ und „holomorphe Funktion“ also nicht mehr synonym verwendet; eine „holomorphe Abbildung“ f : G → G* ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn ∞ ∉ f (G) = G*.

Ist f : G → G* eine bijektive holomorphe Abbildung, so ist die Umkehrabbildung f^–1 : G* → G wieder holomorph. Solche Abbildungen werden daher biholomorph oder auch konform genannt.

Gibt es zu zwei Gebieten G und G* in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) eine konforme Abbildung f : G → G*, so heißen G und G^* biholomorph äquivalent.