eine im offenen Einheitskreis \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktionf mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\Vert f{\Vert }_{ {\mathcal B} }:=\mathop{\sup }\limits_{z\in {\mathbb{E}}}|{f}^{^{\prime} }(z)|(1-|z{|}^{2})\lt \infty.\end{eqnarray}

Die Menge \( {\mathcal B} \) aller Bloch-Funktionen ist ein \({\mathbb{C}}\)-Vektorraum und wird mit der Norm \(|f(0)|+\Vert f{\Vert }_{ {\mathcal B} }\) zu einem Banach-Raum, der dann Bloch-Raum genannt wird.

Für \(f\in {\mathcal B} \) gilt

\begin{eqnarray}|f(0)|+{\Vert f\Vert }_{ {\mathcal B} }\le 2\mathop{\sup }\limits_{z\in {\mathbb{E}}}|f(z)|,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}|f(z)-f(0)|\le \frac{1}{2}\parallel f{\parallel }_{ {\mathcal B} }\mathrm{log}\frac{1+|z|}{1-|z|}.\end{eqnarray}

Ist f eine in \({\mathbb{E}}\)schlichte Funktion und \(a\notin f({\mathbb{E}})\), so gilt \(\mathrm{log}(f-a)\in {\mathcal B} \)und \(\mathrm{log}{f}^{^{\prime} }\in {\mathcal B} \).

Ist umgekehrt \(g\in {\mathcal B} \)mit \(\Vert g{\Vert }_{ {\mathcal B} }\le 1\), so gilt \(g=\mathrm{log}{f}^{^{\prime} }\)mit einer in \({\mathbb{E}}\)schlichten Funktion f.

Weiter betrachtet man noch den „kleinen Bloch-Raum” \({ {\mathcal B} }_{0}\) aller in \({\mathbb{E}}\) holomorphen Funktionen f mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{|z|\to 1}|{f}^{^{\prime} }(z)|(1-{|z|}^{2})=0.\end{eqnarray}