Aussage über die Existenz einer Verallgemeinerung der Fourier-Transformation auf abelschen Gruppen.

Sei G eine Gruppe, \(f:G\to {\mathbb{C}}\) eine Funktion auf G. Ist G diskret, so heißt f positiv definit auf G, wenn für alle \(n\lt \infty \), alle \({x}_{j}\in G,j=1,\ldots, n\) und alle \({\xi }_{j}\in {\mathbb{C}}\) die Ungleichung

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j,k=1}^{n}f({x}_{j}^{-1}{x}_{k}){\xi }_{j}{\bar{\xi }}_{k}\ge 0\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\displaystyle \iint f({g}^{-1}h)\chi (h)\overline{\chi (g)}d\mu (g)d\mu (h)\ge 0\end{eqnarray}

Der Satz von Bochner besagt, daß jede stetige positiv definite Funktion f auf einer abelschen GruppeG in der folgenden Form geschrieben werden kann:

\begin{eqnarray}f(g)=\displaystyle {\int }_{\hat{G}}\gamma (g)d\varrho (\gamma ).\end{eqnarray}

Eine Anwendung des Satzes von Bochner auf die Gruppe \(G={\mathbb{R}}\) führt zur Fourier-Stieltjes-Transformation: Ist f eine positiv definite meßbare Funktion auf ℝ, d. h. ist

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j,k=1}^{n}f({x}_{j}-{x}_{k}){\xi }_{j}\bar{{\xi }_{k}}\ge 0\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itx}d\alpha (t)\end{eqnarray}

Ist umgekehrt α nicht fallend und beschränkt, so ist hierdurch die Fourier-Stieltjes-Transformierte f von α definiert. Dann ist f stetig und positiv definit.

[1] Hewitt,E.; Ross, KA.: Abstract harmonic analysis. Springer, 1970.
[2] Rudin, W.: Fourier Analysis on Groups. Interscience, 1962.