Aussage über die Wahrscheinlichkeit, daß gleichzeitig unendlich viele Ereignisse realisiert werden.

Sei \({({A}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\)eine Folge von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\)und \(A=\{\omega \text{\hspace{0.17em}}\in \Omega :\omega \in {A}_{n}\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\text{\hspace{0.17em}}\text{unendlich}\text{\hspace{0.17em}}\text{viele}\text{\hspace{0.17em}}n\}\).

Dann gilt:

Wie das Beispiel der durch A_n := A₀ für alle n ∈ ℕ und ein \({A}_{0}\in {\mathfrak{A}}\) mit 0 < P(A)₀< 1 definierten Folge \({({A}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) zeigt, kann in (ii) auf die Voraussetzung der Unabhängigkeit i. allg. nicht verzichtet werden. Die Voraussetzung der Unabhängigkeit kann aber dahingehend abgeschwächt werden, daß man in (ii) nur die paarweise Unabhängigkeit der A_n fordert. Für unabhängige A_n sind die Aussagen (i) und (ii) wegen des Borelschen Null-Eins-Gesetzes äquivalent.