Aussage über nichtexpandierende Abbildungen:

Sei X ein Banachraum undM ⊂ X eine schwach kompakte (schwache Topologie) konvexe Teilmenge mit normaler Struktur (d. h. für jede konvexe MengeC ⊂ M mit diam (C) > 0 existiert einx₀ ∈ C mit

\begin{eqnarray}\mathop{\text{sup}}\limits_{x\in C}\Vert x-{x}_{0}\Vert \lt \text{diam}(C)).\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\Vert Tx-Ty\Vert \le \Vert x-y\Vert \end{eqnarray}

Ist speziellX ein gleichmäßig konvexer Banachraum, z. B. ein Hilbertraum oder L^p für 1 < p< ∞, so hat jede abgeschlossene beschränkte konvexe Menge M normale Struktur und ist schwach kompakt. In diesem Fall besitzt also jede nichtexpansive Abbildung T : M → M einen Fixpunkt.

[1] Goebel, K.; Kirk, W. A.: Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge University Press, 1990.