lautet:

Seien a, b ∈ ℝ, G ≔ (a, b) × ℝⁿ, f : G → ℝⁿ. Weiterhin sei für jedes festeỹ ∈ ℝⁿdie Funktion f (x, ỹ) bezüglich x meßbar und für jedes feste x eines maßgleichen Kerns von a < x < b bezüglichystetig. Sei schließlich M : (a, b) → ℝ eine Lebesgue-integrierbare Funktion und gelte

\begin{eqnarray}|{f}_{k}(x,{\bf{y}})|\le M(x)\quad((x,{\bf{y}})\in G,\quad k\in \{1,\ldots, n\}),\end{eqnarray}

Dann existiert zu jedem (x₀, y₀) ∈ G eine Abbildung y ∈ C⁰(G, ℝⁿ) mit

\begin{eqnarray}{\bf{y}}(x)={{\bf{y}}}_{0}+\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{x}{\int }}f(\tau, {\bf{y}}(\tau ))d\tau \quad(x\in (a,b)).\end{eqnarray}

Überall dort, wo f stetig ist, istydann eine Lösung des Differentialgleichungssystemsy′ = f(x, y). Genügt f zusätzlich für beliebigeȳ = (ȳ₁, …, ȳ_n) ∈ ℝⁿder verallgemeinerten Lipschitz-Bedingung

\begin{eqnarray}|{f}_{k}(x,\bar{{\bf{y}}})-{f}_{k}(x,{\bf{y}}(x))|\le N(x)\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{\bar{y}}_{i}-{y}_{i}(x)|\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{{\bf{y}}}^{^{\prime} }=f(x,{\bf{y}}),\quad{\bf{y}}({x}_{0})={{\bf{y}}}_{0}\end{eqnarray}