Lexikon der Mathematik: Carathéodory-Metrik
Metrik auf einer komplexen Mannigfaltigkeit.
Für eine komplexe Mannigfaltigkeit X sei B (X) der Vektorraum der beschränkten holomorphen Funktionen auf X. B (X) mit der Norm ∥·∥X ist ein Banachraum.
Der Raum L (B (X), ℂ) der stetigen Linearformen mit der Norm
\begin{eqnarray}\parallel l\parallel :=\sup \{|l(f)|;\parallel f{\parallel }_{X}\le 1\}\end{eqnarray}
ist ebenfalls ein Banachraum. Auf jeder bezüglich B (X) separablen Mannigfaltigkeit X induziert die Inklusion e : X → L (B (X), ℂ), x ↦ ex mit ex (f) ≔ f (x), eine Metrik\begin{eqnarray}d(x,y):=\parallel {e}_{x}-{e}_{y}\parallel \end{eqnarray}
die man Carathéodory-Metrik nennt.Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
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