Lexikon der Mathematik: Cardanische Lösungsformeln
ein Lösungsalgorithmus, um die Nullstellen der algebraischen Gleichung dritten Grades
\begin{eqnarray}{x}^{3}+a{x}^{2}+bx+c=0\end{eqnarray}
zu bestimmen.Sie gelten über jedem Körper der Charakteristik ungleich 2 oder 3.
In einem ersten Schritt wird in der Gleichung durch die Transformation \(z=x+\frac{1}{3}a\) der quadratische Term zum Verschwinden gebracht:
\begin{eqnarray}{z}^{3}+pz+q=0.\end{eqnarray}
Sei ζ eine primitive dritte Einheitswurzel (über dem Körper ℚ also z. B. \(\zeta =\exp (\frac{2\pi }{3})\)). Es wird gesetzt
\begin{eqnarray}u:=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2}+{(\frac{p}{3})}^{3},}}\\ v:=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2}+{(\frac{p}{3})}^{3}},}\end{eqnarray}
mit Vorzeichenwahl so, daß\begin{eqnarray}u\cdot v=-\frac{p}{3}\end{eqnarray}
gilt. Die Nullstellen der Gleichung können dann gegeben werden durchDie Nullstellen liegen in einem Erweiterungskörper, der die dritten Einheitswurzeln und die Größen u und v (auch Radikale genannt) enthält.
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