Lexikon der Mathematik: Cartan, Satz von, über Automorphismen
wichtige Aussage innerhalb der Funktionentheorie. Der Satz lautet:
Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktesGebiet, f eine innere Abbildung von G und (fn) die Folge der Iterierten von f. Weiter existiere eine Teilfolge von (fn), die in G kompakt gegen eine nicht konstante Grenzfunktion konvergiert.
Dann ist f ∈ Aut G, d.h. f ist eine konforme Abbildung von G auf sich.
Zwei Folgerungen aus diesem Satz seien noch angegeben:
Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f eine innere Abbildung von G mit zwei verschiedenen Fixpunkten in G. Dann ist f ∈ Aut G.
Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet, f eine innere Abbildung von G und a ∈ G ein Fixpunkt von f.
Dann gilt |f′(a)| ≤ 1. Weiter gilt f ∈ Aut G genau dann, wenn |f′(a)| = 1.
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