Lexikon der Mathematik: Cartanscher Differentialkalkül
enthält u.a. die Regeln für den Umgang mit der Cartan-Ableitung (1) und dem δ-Operator, den allgemeinen Satz von Gauß-Stokes (2) und das Lemma von Poincaré (3).
Zu (1) gehören zum Beispiel:
d ist linear,
\begin{eqnarray}d({{\mathfrak{A}}}_{p})\subset {{\mathfrak{A}}}_{p+1}\quad(p\in {\rm{{\mathbb{N}}}}),\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}d(\varphi \wedge \psi )=d\varphi \wedge \psi +{(-1)}^{p}\varphi \wedge d\psi \quad(\varphi \in {{\mathfrak{A}}}_{p},\quad\psi \in {{\mathfrak{A}}}_{q}),\quad\ dd=0.\end{eqnarray}
Dabei bezeichnen ∧ das äußere Produkt von Differentialformen und \({{\mathfrak{A}}}_{p}\) die Gesamtheit der auf einer gegebenen offenen Teilmenge eines normierten Vektorraumes ℜ definierten differenzierbaren Abbildungen mit Werten in den alternierenden beschränkten p-linearen Abbildungen von ℜp nach ℝ (Felder alternierender Abbildungen).
Die letzte der aufgelisteten Aussagen wird gelegentlich auch als Regel von Poincaré bezeichnet.
(2) lautet
\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}d\omega =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {\mathfrak{G}}}\omega \end{eqnarray}
und enthält als Spezialfälle die klassischen Integralsätze von Gauß und Stokes.(3) macht eine Aussage über die Lösbarkeit von dω = f, falls df = 0, unter geeigneten Bedingungen an den zugrundeliegenden Bereich \({\mathfrak{G}}\) und die Funktion f (Vektoranalysis).
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