Lexikon der Mathematik: Cauchy-Hadamard, Formel von
Formel zur Berechnung des Konvergenzradius R einer Potenzreihe
\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}
mit Koeffizienten an ∈ ℂ und Entwicklungspunkt z0 ∈ ℂ. Sie lautet\begin{eqnarray}R=\frac{1}{\mathop{\text{lim sup}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}}.\end{eqnarray}
Dabei ist R = ∞, falls
\begin{eqnarray}\mathop{\text{lim sup}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=0,\end{eqnarray}
und R = 0, falls\begin{eqnarray}\mathop{\text{lim sup}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=\infty.\end{eqnarray}
Sind alle Koeffizienten an ≠ 0, so gilt
\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\quad\inf }\limits_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|\le R\le \mathop{{\rm{lim\; sup}}}\limits_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|\end{eqnarray}
und daher\begin{eqnarray}R=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|,\end{eqnarray}
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