Lexikon der Mathematik: Cauchy-Kern
Kernfunktion, die vor allem in der Cauchyschen Integralformel und beim Cauchy-Integral eine große Rolle spielt.
Es sei eine auf einer offenen Menge U ∈ ℂ holomorphe Funktion f gegeben. Man betrachte einen Punkt z0 ∈ U und bezeichne mit DR (z0) die größte offene Kreisscheibe um z0, die in U liegt. Weiter sei r< R fest gewählt, und κ sei die positiv orientierte Kreislinie vom Radius r um z0. Nach der Cauchyschen Integralformel gilt für |z − z0| < r
\begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\kappa }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta.\end{eqnarray}
Der im Integranden vorkommende Ausdruck
\begin{eqnarray}\frac{1}{\zeta -z}\end{eqnarray}
heißt Cauchy-Kern, er läßt sich in eine geometrische Reihe nach Potenzen von \(\frac{z-{z}_{0}}{\zeta -{z}_{0}}\) entwickeln, und man erhält\begin{eqnarray}\frac{1}{\zeta -z}=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }\frac{{(z-{z}_{0})}^{v}}{{(\zeta -{z}_{0})}^{v+1}},\end{eqnarray}
Vertauschen von Integration und Summation liefert
\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }[\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\kappa }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -{z}_{0})}^{v+1}}d\zeta ]{(z-{z}_{0})}^{v}.\end{eqnarray}
Aufgrund der Cauchyschen Integralformeln ist
\begin{eqnarray}{a}_{v}:=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\kappa }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -{z}_{0})}^{v+1}}d\zeta =\frac{{f}^{(v)}({z}_{0})}{v!},\end{eqnarray}
also von r unabhängig.\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{(z-{z}_{0})}^{v}\end{eqnarray}
ist die Taylorreihe von f und konvergiert mindestens in Dr (z0) lokal gleichmäßig gegen f.
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