Kriterium zum Konvergenznachweis, das ohne Kenntnis des Grenzwertes auskommt.

Bei dem Versuch, die Konvergenz einer gegebenen Folge aufzuzeigen, macht es manchmal Schwierigkeiten, daß man die Zahl, die als Grenzwert nachgewiesen werden soll, noch gar nicht kennt. Für monotone Folgen liefert die Beschränktheit eine einfache Charakterisierung von Konvergenz ohne Bezug auf den Grenzwert.

Mit dem Begriff der Cauchy-Folge erhält man für allgemeine Folgen reeller oder komplexer Zahlen ein einfaches Konvergenzkriterium, in dem der

Grenzwert nicht vorkommt (Die Feststellung etwa, ob ein Paar ein Kind hat, ist ja auch möglich, ohne den Namen oder irgendwelche speziellen Eigenschaften des Kindes zu kennen!):

Jede Cauchy-Folge ist konvergent.

Die Umkehrung – Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folgeist ganz einfach zu sehen. Wenn man schon weiß, daß eine Folge konvergiert, dann ist es manchmal leichter, im nachhinein auch ihren Grenzwert zu finden.

Sei z. B. die Folge (a_n) rekursiv definiert durch a₀ := 1 und \({a}_{n+1}:=\frac{1}{1+{a}_{n}}\) für n ∈ ℕ₀. Dann ist a_n > 0, also a_n ≤ 1 und damit \({a}_{n}\ge \frac{1}{2}\) für n ∈ ℕ₀.

Somit gilt für n, k ∈ ℕ₀:

\begin{eqnarray}|{a}_{n+k+1}-{a}_{n+1}|=|\frac{{a}_{n}-{a}_{n+k}}{(1+{a}_{n+k})(1+{a}_{n})}|\le \frac{|{a}_{n+k}-{a}_{n}|}{{(1+\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{4}{9}|{a}_{n+k}-{a}_{n}|.\end{eqnarray}

Induktiv erhält man daraus

\begin{eqnarray}|{a}_{n+k}-{a}_{n}|\le {(\frac{4}{9})}^{n}|{a}_{k}-{a}_{0}|\le \frac{1}{2}{(\frac{4}{9})}^{n}\to 0\end{eqnarray}

Mit Hilfe der Rekursionsformel sieht man \(a=\frac{1}{1+a}\), also a² + a − 1 = 0 und, da a positiv muß:

\begin{eqnarray}a=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1).\end{eqnarray}