Lexikon der Mathematik: Cauchy-Riemann-Gleichungen
System zweier partieller Differentialgleichungen, die notwendige und hinreichende Bedingungen an die reellen Komponenten u(x, y) und v(x, y) einer komplexen Funktion
\begin{eqnarray}f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\end{eqnarray}
für die Differenzierbarkeit bzgl. der komplexen Variable z = x + iy formulieren.Die Gleichungen bilden ein System partieller Differentialgleichungen und lauten
\begin{eqnarray}{u}_{x}={v}_{y},\quad{u}_{y}=-{v}_{x}.\end{eqnarray}
Sind sie an einer Stelle z0 = x0 + iy0 erfüllt, dann folgt daraus die komplexe Differenzierbarkeit gemäß
\begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }({z}_{0})={u}_{x}({x}_{0},{y}_{0})+i{v}_{x}({x}_{0},{y}_{0}).\end{eqnarray}
Umgekehrt folgt aus der komplexen Differenzierbarkeit die Gültigkeit der Cauchy-Riemann Gleichungen.
Man kann diese Gleichungen auch in äquivalenter Weise als eine einzige (komplexe) Differentialgleichung formulieren; in diesem Fall spricht man meist von der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung. Man vergleiche dieses Stichwort für weitere Informationen. Die Notation ist aber in der Literatur nicht ganz einheitlich.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.