Abschätzungen für die Koeffizienten einer Potenz-oder einer Laurentreihe. Sie lauten: Es sei

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}|{a}_{n}|\le \frac{M(r)}{{r}^{n}}.\end{eqnarray}

Ungleichungen dieser Art werden beim Beweis des Satzes von Liouville benötigt.

Entsprechende Ungleichungen gelten auch für Laurent-Reihen: Es sei

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{A}_{\varrho, \sigma }({z}_{0}):=\{z\in {\mathbb{C}}:0\le \varrho \lt |z-{z}_{0}|\lt \sigma \le \infty \}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}M(r):=\mathop{\max }\limits_{|z-{z}_{0}|=r}|f(z)|,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}|{a}_{n}|\le \frac{M(r)}{{r}^{n}}.\end{eqnarray}

Es sei noch darauf hingewiesen, daß die Notation in der Literatur nicht ganz einheitlich ist; manchmal bezeichnet man auch die Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen als Cauchysche Ungleichungen.