für eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) definierte reelle Zufallsvariable X durch die Fourier-Transformation

\begin{eqnarray}{\phi }_{X}:{\mathbb{R}}\ni t\to E({e}^{itX})=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}{e}^{itx}{P}_{X}(dx)\in {\mathbb{C}}\end{eqnarray}

Die von A.M. Ljapunow und P. Lévy entwickelte Theorie der charakteristischen Funktionen stellt eine der wichtigsten analytischen Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie dar, die z. B. beim Beweis des zentralen Grenzwertsatzes und der Bestimmung der Verteilung der Summe von endlich vielen unabhängigen Zufallsvariablen angewendet wird. Wichtige Resultate sind:

1. Eindeutigkeitssatz: Für zwei Zufallsvariablen X und Y auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) gilt φ_X = φ_Y genau dann, wenn P_X = P_Y gilt.
2. Stetigkeitssatz: Die Folge (P_Xn)_n∈ℕder Verteilungen einer Folge (X_n)_n∈ℕvon Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) mit charakeristischen Funktionen (φ_Xn)_n∈ℕkonvergiert genau dann schwach gegen die Verteilung P_X einer Zufallsvariable X mit charakteristischer Funktion φ_X, wenn die φ_Xn gegen φ_X konvergieren.
3. Inversionsformel: Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung P_X. Ist |φ_X| endlich Lebesgue-integrierbar, so besitzt P_X eine Wahrscheinlichkeitsdichte f_X bezüglich des Lebesgue-Maßes λ, die durch

   \begin{eqnarray}{f}_{X}:{\mathbb{R}}\ni x\to \frac{1}{2\pi }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}{e}^{-itx}{\phi }_{X}(t)\lambda (dt)\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray}

   gegeben ist.
4. Multiplikationssatz: Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen mit charakteristischen Funktionen φ_X und φ_Y. Dann gilt für die charakteristische Funktion der Summe X + Y die Beziehung

   \begin{eqnarray}{\phi }_{X+Y}={\phi }_{X}{\phi }_{Y}.\end{eqnarray}

5. Differenzierbarkeit: Existiert das k-te Moment M_k der Verteilung einer Zufallsvariable X, so ist φ_X k-mal differenzierbar. Die k-te Ableitung \({\phi }_{X}^{(k)}\)ist gleichmäßig stetig und beschränkt und es gilt

   \begin{eqnarray}{\phi }_{X}^{(k)}(0)={i}^{k}{M}_{k}.\end{eqnarray}