Lexikon der Mathematik: Cholesky-Verfahren
direktes Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssytems Ax = b mit einer symmetrischen, positiv definiten Koeffizientenmatrix A ∈ ℝn×n. Es muß also für A gelten: A = AT und
Für eine symmetrische, positiv definite Matrix A kann das Gauß-Verfahren ohne Pivotisierung durchgeführt werden. Dabei berechnet man die eindeutige Zerlegung von A in ein Produkt der Form A = LLT, wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen ist:
Eine solche Zerlegung nennt man Cholesky-Zerlegung von A.
Man kann nun eine, nach Cholesky benannte, kompakte Variante der Berechnung von L durchführen, diese lautet:
- Schritt: Berechne \({\ell }_{11}:=\sqrt{{a}_{11}}\), und für i = 2,…, n:
\begin{eqnarray}{\ell }_{i1}:={a}_{i1}/{\ell }_{11}.\end{eqnarray} - Schritt: Für j = 2,…,n: berechne \({\ell }_{j}{}_{j}:=\sqrt{{a}_{j}{}_{j}-\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}{\ell }_{jk}^{2}},\) und für i = j + 1,…,n:
\begin{eqnarray}{\ell }_{ij}:=({a}_{ij}-\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}{\ell }_{ik}{\ell }_{jk})/{\ell }_{jj}.\end{eqnarray}
Dieses Verfahren heißt Cholesky-Verfahren.
Zur Lösung der linearen Gleichungssystems Ax = b führt man nun einen Hilfsvektor
Dann bestimmt man den Lösungsvektor x aus LTx = c durch Rückwärtseinsetzen.
Für große Werte von n ist der Aufwand für das Verfahren von Cholesky etwa halb so groß wie beim Gauß-Verfahren.
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