Topologie auf Mengen von C^k-Abbildungen, die durch folgende Norm induziert wird: Den Vektorraum der C^k-Abbildungen von der MannigfaltigkeitM nach ℝⁿ bezeichnen wir mit C^k(M, ℝⁿ). Dann wird auf C^k(M, ℝⁿ) durch

\begin{eqnarray}\parallel f\parallel :=\sup \ \mathop{\max }\limits_{j\in \{0,\mathrm\cdots{k}\}}\parallel {d}^{j}(f\circ{h}^{-1})(x)\parallel \end{eqnarray}

für f ∈ C^k(M, ℝⁿ), wobei das Supremum über alle Karten h von M mit Definitionsbereich U und alle x ∈ U zu nehmen ist, eine Norm definiert. Die mit Hilfe dieser Norm definierten offenen Kugeln induzieren die C^k-Topologie auf C^k(M, ℝⁿ).

Für eine Menge M ⊂ ℝ^m ist auf der Menge der stetigen Abbildungen C⁰(M, ℝⁿ) durch ∥ · ∥₀ gerade die Supremumsnorm definiert. Für den Fall einer kompakten Mannigfaltigkeit geben wir einige wichtige Ergebnisse an:

Sei M kompakte Mannigfaltigkeit, undC^k(M, ℝⁿ) sei mit derC^k-Topologie ausgestattet. Dann gilt:

1. C^k(M, ℝⁿ) ist einBanachraum.
2. C^k(M, ℝⁿ) ist einBaire-Raum.
3. C^k(M, ℝⁿ) ist separabel.
4. C^∞(M, ℝⁿ) liegt dicht inC^k(M, ℝⁿ).

Weiter folgt, daß für eine weitere Mannigfaltigkeit N die Menge der glatten Funktionen von M nach N, C^∞(M, N), dicht in C^k(M, N) liegt für alle k ∈ ℕ₀. Schließlich ist die Menge der C^k-Diffeomorphismen auf M, Diff^k(M), offen in C^k(M, M).

[1] Palis,J.; Melo,W. de: Geometric Theory of Dynamical Systems. Springer-Verlag New York, 1982.