Lexikon der Mathematik: Computeralgebra
ein modernes Gebiet der Mathematik, das algorithmische und strukturelle Algebra mit Methoden der Informatik verbindet. Es hat sich in den sechziger Jahren, initiiert durch Bedürfnisse der Anwender, für die die symbolischen Rechnungen zu kompliziert wurden, entwickelt.
Die Computeralgebra beschäftigt sich mit Methoden zur Lösung mathematischer Probleme durch symbolische Algorithmen und deren Umsetzung in Software. Computeralgebra beinhaltet exakte Arithmetik, Operationen mit Polynomen (Berechnung des größten gemeinsamen Teilers, Faktorisierung univariater und multivariater Polynome), modulares Rechnen auf der Grundlage des chinesischen Restsatzes, Gröbner-Basen und Standardbasen als Grundlage für die Operationen mit Idealen (z. B. Berechnung des Durchschnittes, des Quotienten bis hin zur Primärzerlegung). Damit ist sie Grundlage für viele Anwendungen in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie.
Computeralgebra beinhaltet auch konstruktive Methoden in der Zahlentheorie (von Primzahlnachweisen, Faktorisierung von großen Zahlen bis zur Berechnung von Galois-Gruppen), Algebrentheorie, Gruppen- und Darstellungstheorie, Codierungstheorie und Kryptographie, symbolische Integration, symbolisches Lösen algebraischer Gleichungssysteme, symbolische Behandlung von Differentialgleichungen und Komplexitätstheorie. Sie hat viele Anwendungen in anderen Wissenschaften wie Physik, Chemie, Biologie und Medizin.
Die Computeralgebra hat eine Reihe von Allzwecksystemen wie Axiom, Macsyma, Maple, Mathematica, Reduce und MuPAD hervorgebracht. Mit diesen kann man sowohl numerisch als auch symbolisch rechnen und eigene Programme schreiben. Dem gegenüber stehen spezialisierte Systeme wie z. B. CoCoA, Gap, Macaulay II, Magma, SINGULAR, die für gewisse Probleme (wie z. B. die Berechnung von Gröbner-Basen) sehr viel leistungsfähiger sind als die Allzwecksysteme.
Neuerdings gewinnt auch das Rechnen in nichtkommutativen Ringen und Algebren an Bedeutung.
[1] Cox, D.; Little, J,; OShea, D.: Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer Heidelberg/Berlin, 1996.
[2] Mignotte, M.: Mathematics for Computer Algebra. Springer Heidelberg/Berlin, 1991.
[3] Mishra, B.: Algorithmic Algebra. Springer Heidelberg/Berlin, 1993.
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