die Lösungen der Differentialgleichung

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}}+\left(1-\displaystyle\frac{2\eta }{z}-\displaystyle\frac{L(L+1)}{{z}^{2}}\right)w=0,\end{eqnarray}

wobei η ∈ ℝ und L ∈ ℕ₀.

Man verwendet dabei üblicherweise das folgende Paar linear unabhängiger Lösungen: Erstens die sog. reguläre Lösung, die durch die konfluente hypergeometrische Funktion definiert ist

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}{F}_{L}(\eta, z):={C}_{L}(\eta ){z}^{L+1}{e}^{-iz}.\\ M(L+1-i\eta, 2L+2,2iz),\end{array}\end{eqnarray}

wobei der Faktor C_L(η) die Abkürzung

\begin{eqnarray}{C}_{L}(\eta ):=\displaystyle\frac{{2}^{L}{e}^{-\eta \pi /2}|\Gamma (L+1+i\eta )|}{\Gamma (2L+2)}\end{eqnarray}

bezeichnet. Die zweite linear unabhängige Lösung, die sog. irreguläre Lösung, erhält man am einfachsten aus der folgenden Integraldarstellung:

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}{F}_{L}(\eta, z)+i{G}_{L}(\eta, z)\\ :=\displaystyle\frac{i{e}^{iz}{z}^{-L}}{(2L+1)!{C}_{L}(\eta )}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{t}{t}^{L-i\eta }{(t+2iz)}^{L+i\eta }dt\\ =\displaystyle\frac{{e}^{-\pi {\eta }}{z}^{L+1}}{(2L+1)!{C}_{L}(\eta )}.\\ \displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}({(1-{\tanh }^{2}t)}^{L+1}{e}^{-iz}{}^{\tanh {t}}{e}^{2i\eta t}+\\ +i{(1+{t}^{2})}^{L}{{e}^{-zt+2\eta \arctan t}})dt.\end{array}\end{eqnarray}

Direkt aus der Differentialgleichung folgen die Rekursionsformeln, wobei w_L = F_L(η, ·) oder = G_L(η, ·) sei:

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}L{w}_{L}^{\prime}={({L}^{2}+{\eta }^{2})}^{1/2}{w}_{L}-(\eta +{L}^{2}/z){w}_{L},\\ (L+1){w}_{L}^{\prime}=(\eta +{(L+1)}^{2}/z){w}_{L}\\ -{({(L+1)}^{2}+{\eta }^{2})}^{1/2}{w}_{L+1},\\ L{({(L+1)}^{2}+{\eta }^{2})}^{1/2}{w}_{L+1}=\\ =(2L+1)(\eta +L(L+1)/z){w}_{L}\\ -(L+1){({L}^{2}+{\eta }^{2})}^{1/2}{w}_{L-1}.\end{array}\end{eqnarray}