Verfahren zur Berechnung des k-ten Eigenwertes einer großen, sparsen, symmetrischen (n × n)-Matrix A.

Ausgehend von m orthonormalen Vektoren u₁, …, u_m ∈ ℝⁿ, m ≤ k, welche den Eigenraum zu den k größten Eigenwerten von A aufspannen, berechnet das Davidson-Verfahren:

bilde U_m = [u₁,u₂, …, u_m] ∈ ℝ^n×m

berechne \({U}_{m}^{T}A|{U}_{m}\)

berechne die Eigenwerte λ₁ ≥ λ₂ ≥ … ≥ λ_m und zugehörige Eigenvektoren z₁, …, z_m von H_m wähle λ_k und den zugehörgen Eigenvektor x_k aus

berechne z = U_mx_k

berechne r = A_z – λ_kz

solange ||r|| ≠ 0 Wiederhole

berechne t = (diag(A) – λ_kI)^–1r

orthonormiere t gegen u₁, …, u_m und nenne das Ergebnis u_m+1

bilde U_m+1 = [u₁,u₂, …,u_m+1]

berechne \({H}_{m+1}={U}_{m+1}^{T}A{U}_{m+1}\)

berechne die Eigenwerte λ₁ ≥ λ₂≥ … ≥ λ_m+1 und die zugehörigen Eigenvektoren von H^m+1

wähle λ_k und den zugehörgen Eigenvektor x_k aus

berechne z = U_mx_k

berechne r = A_z – λ_kz setze m = m + 1 ende Wiederhole

Die Zahl λ_k ist dann der gesuchte Eigenwert. Die in jedem Schritt erforderliche Orthonormalisierung kann mittels des Gram-Schmidt-Verfahrens oder mittels der QR-Zerlegung von [u₁, u₂, …, u_m, t] berechnet werden.

Soll anschließend der (k+1)-te Eigenwert berechnet werden, so bilden die ersten ℓ Spalten, ℓ >k+1 der bei der Berechnung von λ_k erzeugten Matrix U_m häufig einen geeigneten Eigenraum.