Lexikon der Mathematik: de Rham-Kohomologie
die im folgenden hergeleitete Kohomologie.
Ist X eine C∞-Mannigfaltigkeit und \({\wedge }_{X}^{p}\) die Garbe der C∞ – p-Formen, so heißt
\begin{eqnarray}{\wedge }_{X}^{\bullet }=({\wedge }_{X}^{0}\underrightarrow{d}{\wedge }_{X}^{1}\underrightarrow{d}{\wedge }_{X}^{2}\cdots )\end{eqnarray}
(d die äußere Ableitung) der C∞-de Rham-Komplex. Es gilt d &ogr; d = 0, und
\begin{eqnarray}{H}_{DR}^{p}(X)=\text{Ker}({\wedge }_{X}^{p}(X)\to {\wedge }_{X}^{p+1}(X))/d{\wedge }_{X}^{p-1}\,(X)\end{eqnarray}
(p = 0,1, 2, …) heißt de Rham-Kohomologie von X. Für komplexe Mannigfaltigkeiten X (oder glatte algebraische VarietätenX über \({\mathbb{C}}\)) sei \({\Omega }_{X}^{1}\) der analytische (oder algebraische) de Rham-Komplex. Die sog. Hyperkohomologie dieses Komplexes ist isomorph zur de Rham-Kohomologie, sie heißt deshalb ebenfalls de Rham-Kohomologie. Zum Apparat der Hyperkohomologie gehören Spektralfolgen, die eine Verbindung der De Rham Kohomologie mit der Dolbeault-Kohomologie herstellen (Hodge-Strukturen).Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
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