Lexikon der Mathematik: Dedekindscher Diskriminantensatz
eine Folgerung aus dem Dedekindschen Differentensatz:
Gegeben seienalgebraische Zahlkörper
\begin{eqnarray}L\supset K\supset {\mathbb{Q}}\end{eqnarray}
mit den Ganzheitsringen \({\mathcal{O}}_{L}\)und \({\mathcal{O}}_{K}\)und ein Primideal \({\mathfrak{p}}\) ≠ 0 in \({\mathcal{O}}_{K}\)mit dereindeutigen Primzerlegung
\begin{eqnarray}{\mathfrak{p}}={{\mathfrak{P}}}_{1}^{e1}\cdots {{\mathfrak{P}}}_{g}^{eg}\end{eqnarray}
in \({\mathcal{O}}_{L}\). Sei fj der Trägheitsgrad von \({\mathfrak{P}}\)j über \({\mathfrak{p}}\) (für j = 1, …, g), und bezeichne p die Charakteristik des Körpers \({\mathcal{O}}_{K}\)/\({\mathfrak{p}}\).Dann gilt für den \({\mathfrak{p}}\)-Exponenten der Relativdiskriminate:
\begin{eqnarray}{v}_{{\mathfrak{p}}}({\mathfrak{d}}L/K)=\displaystyle \sum _{j=1}^{g}({e}_{j}-1){f}_{j},\end{eqnarray}
falls p \(\nmid{|}\)ej für jedes j ∈ {1, …, g}, und
\begin{eqnarray}{v}_{{\mathfrak{p}}}({\mathfrak{d}}L/K)\gt \displaystyle \sum _{j=1}^{g}({e}_{j}-1){f}_{j},\end{eqnarray}
falls p | ej für mindestens ein j ∈ {1, …, g}.Insbesondere ist das Primideal \({\mathfrak{p}}\)genau dann in L/K verzweigt, wenn \({\mathfrak{p}}\)ein Teiler der Diskriminante \({\mathfrak{d}}\)L/K ist.
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