Lexikon der Mathematik: Deflation
Technik, eine Matrix A ∈ ℂn×n in zwei oder mehrere Matrizen kleinerer Dimension zu überführen, so daß das Spektrum von A gerade gleich der Vereinigung der Spektren dieser Matrizen kleinerer Dimension ist.
Überführt man eine Matrix A z. B. auf die Form
Anstelle des (n × n)-Eigenwertproblems Ax = λx kann man nun zwei kleinere Eigenwertprobleme
lösen. Diese Technik wird insbesondere bei der Potenzmethode, der inversen Iteration und dem QR-Algorithmus angewendet.
Beim QR-Algorithmus berechnet man, ausgehend von einer unreduzierten oberen Hessenberg-Matrix H0, eine Folge von oberen Hessenberg-Matrizen Hj, bei denen bei geeigneter Shiftwahl-Strategie die Elemente der ersten unteren Nebendiagonale gegen Null konvergieren. Sobald eines der Nebendiagonalelemente \({h}_{i+1,i}^{(j)}\) von Hj hinreichend klein ist, spaltet man das Eigenwertproblem wie oben beschrieben in zwei kleinere auf, und arbeitet auf den beiden kleineren Problemen. Typischerweise hat man i = n − 1 oder i = n − 2, und man kann die Eigenwerte des rechten unteren Blocks in Hj explizit berechnen.
Bei der Potenzmethode und der inversen Iteration läßt sich für eine gegebene Matrix A nur ein einzelner Eigenwert λ1 mit zugehörigem Eigenvektor x1 berechnen. Um weitere Eigenpaare zu erhalten, überführt man die Matrix A mittels Ähnlichkeitstransformation mit einer nichtsingulären Matrix H auf die Form
Für die Matrix H muß
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