Lexikon der Mathematik: dehnungsbeschränkte Funktion
auch Lipschitz-stetige Funktion genannt, reellwertige Funktion f (einer reellen Variablen), zu der es eine Zahl (Dehnungsschranke, Lipschitzkonstante) λ ∈ [0, ∞) gibt mit
für alle x, y aus dem Definitionsbereich D von f.
Ersetzt man |·| durch Normen, so können Funktionen f aus einem normierten Raum (X, || · ||1) in einen anderen (Y, || · ||2) betrachtet werden. Die Bedingung lautet dann
für alle x, y aus dem Definitionsbereich D von f. Allgemeiner können zumindest noch Abbildungen aus einem metrischen Raum (R, δ1) in einen anderen (S, δ2) in betrachtet werden, wenn man die Bedingung der Form
schreibt.
Die Betragsfunktion |·| ist dehnungsbeschränkt auf ℝ (mit Dehnungsschranke λ = 1), denn
Die durch f(x) := x2 für x ∈ ℝ definierte Funktion f ist nicht dehnungsbeschränkt, da
gilt, und |x + y| beliebig groß werden kann.
Dehnungsbeschränkte Funktionen sind gleichmäßig stetig. Differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung sind dehnungsbeschränkt.
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