fundamentaler Kalkül in der Funktionentheorie.

Sei X eine C^∞-Mannigfaltigkeit der reellen Dimension n, und sei ϵ^ℝ die Strukturgarbe von X (d. h., ϵ^ℝ ist die Garbe der reellwertigen C^∞-Funktionen auf X). Sei a ein Punkt in X und x₁, …, x_n die lokalen Koordinaten um a. Eine ℝ-lineare Abbildung \(\xi :{\varepsilon }_{a}^{{\mathbb{R}}}\to {\mathbb{R}}\) heißt eine Derivation oder ein reeller Tangentialvektor an der Stelle a, wenn \begin{eqnarray}\xi (fg)=\xi (f)g(a)+f(a)\xi (g)\end{eqnarray} für alle \(f,g\in {\varepsilon }_{a}^{{\mathbb{R}}}\).

Die Menge T_a = T_aX der reellen Tangentialvektoren an der Stelle a ist ein n-dimensionaler reeller Vektorraum mit der Basis \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial {x}_{1}}|a,\ldots, \frac{\partial }{\partial {x}_{n}}|a.\end{eqnarray}

Ein Vektorfeld ξ auf einer offenen Teilmenge U von X ist eine Abbildung, die jedem x ∈ U einen Tangentialvektor ξ (x) ∈ T_xX zuordnet. In einer Umgebung von a hat ξ eine Darstellung der Form \begin{eqnarray}\xi =\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{f}_{j}\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}.\end{eqnarray}

Das Vektorfeld ξ heißt „C^∞“, wenn die Funktionen f_j C^∞-Funktionen sind. Dies ist äquivalent zu der Bedingung, daß für jedes f ∈ ϵ^ℝ (U) die Funktion ξ (f) : U → ℝ, x ↦ ξ (x) (f_x) eine C^∞-Funktion ist.

Für r ≥ 0 bezeichne \begin{eqnarray}{\varepsilon }_{a}^{r}:={A}^{r}({T}_{a}X)\oplus i{A}^{r}({T}_{a}X)\end{eqnarray}

den komplexen Vektorraum der alternierenden r-fachen ℝ-linearen Abbildungen φ : T_a × … × T_a → ℂ. Wenn dx₁, …, dx_n die Basis von A¹ (T_a) = Hom_ℝ (T_a, ℝ) ist, die dual zu der Basis \(\frac{\partial }{\partial {x}_{1}}|a,\ldots, \frac{\partial }{\partial {x}_{n}}{|}_{a}\) von T_a ist, dann ist dx₁, …, dx_n auch eine Basis des komplexen Vektorraumes \({\varepsilon }_{a}^{1}\), und \(\{d{x}_{J}:J\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)\}\) ist eine Basis von \({\varepsilon }_{a}^{r}\), wobei \begin{eqnarray}d{x}_{J}:=d{x}_{{j}_{1}}\wedge \ldots \wedge d{x}_{jr}\end{eqnarray} für \(({j}_{1},\ldots, {j}_{r})\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)\) mit \begin{eqnarray}{\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right):=\{({j}_{1},\ldots, {j}_{r})\in {\rm{{\mathbb{N}}}}|1\le {j}_{1}\lt \ldots \lt {j}_{r}\le n\},\end{eqnarray} und dx_∅ := 1 ∈ ℝ.

Eine r-Form ω auf einer offenen Teilmenge U ⊂ X ist eine Abbildung, die jedem x ∈ U ein Element \(\omega (x)\in {\varepsilon }_{x}^{r}\) zuordnet. In einer Umgebung von a besitzt ω eine Darstellung der Form \begin{eqnarray}\omega =\displaystyle \sum _{J\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}^{n}{f}_{J}d{x}_{J}.\end{eqnarray}

Nach Definition ist ω genau dann C^∞, wenn die Funktionen f_J C^∞-Funktionen sind. Dies ist äquivalent zu der Bedingung, daß für beliebige C^∞-Vektorfelder ξ₁, …, ξ_r auf U, die Funktion \begin{eqnarray}\omega ({\xi }_{1},\ldots, {\xi }_{r}):U\to {\rm{{\mathbb{C}}}},x\mapsto \omega ({\xi }_{1}(x),\ldots, {\xi }_{r}(x))\end{eqnarray} eine C^∞-Funktion ist.

Die Prägarbe \begin{eqnarray}U\mapsto {\varepsilon }^{r}(U):=\{\text{alle}\ {C}^{\infty }\text{-}r\text{-Formen auf}\,U\}\end{eqnarray} ist eine lokal freie Garbe ϵ^r vom Rang \(\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)\) über der Garbe ϵ := ϵ⁰ der ℂ-wertigen C^∞-Funktionen auf X.

Die ℂ-linearen äußeren Ableitungen d : ϵ^r → ϵ^r+1 sind bezüglich der lokalen Koordinaten x₁, …, x_n hier definiert durch \begin{eqnarray}d\left(\displaystyle \sum {f}_{J}d{x}_{J}\right):=\displaystyle \sum d{f}_{J}\wedge d{x}_{J},\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}df:=\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}d{x}_{j}\end{eqnarray} für f ∈ ϵ⁰ = ϵ. Diese Definition von d ist unabhängig von der Wahl der lokalen Koordinaten. Für die äußeren Ableitungen gilt d ∘ d = 0. Außerdem gilt \begin{eqnarray}d(\omega \wedge \eta )=d(\omega )\wedge \eta +{(-1)}^{n}\omega \wedge d\eta \end{eqnarray} für ω ∈ ϵ^r, η ∈ ϵ^s.

Sei nun X eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n und z₁, …, z_n mit z_j = x_j + iy_j die lokalen Koordinaten um einen Punkt a ∈ X. Dann sind sowohl {dx₁, …, dx_n, dy₁, …, dy_n} als auch \(\{d{z}_{1},\ldots, d{\bar{z}}_{n},d{\bar{z}}_{1},\ldots, d{\bar{z}}_{n}\}\) Basen von \({\varepsilon }_{a}^{1}\) (Differentialform, komplexwertige). Daher ist für r ∈ ℕ die Menge \begin{eqnarray}\{d{z}_{I}\wedge d{\bar{z}}_{J};I\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ p\end{array}\right),J\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ q\end{array}\right),p+q=r\}\end{eqnarray} eine Basis von \({\varepsilon }_{a}^{r}\), wobei \(d{z}_{I}:=d{z}_{{i}_{1}}\wedge \ldots \wedge d{z}_{{i}_{p}},d{\bar{z}}_{J}:=d{\bar{z}}_{{j}_{1}}\wedge \ldots \wedge d{\bar{z}}_{{j}_{q}}\), und \(d{z}_{\varnothing }:=1={\overline{dz}}_{\varnothing }\in {\rm{{\mathbb{R}}}}\) sei. Eine r-Form ω ∈ E^r (U), U ⊂ X, heißt eine (p, q) −Form, wenn p, q ∈ ℕ, p + q = r, und ω in lokalen Koordinaten z₁, …, z_n geschrieben werden kann als \begin{eqnarray}\omega =\displaystyle \sum _{I\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ p\end{array}\right),J\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\left(\begin{array}{c}n\\ q\end{array}\right)}^{n}{f}_{IJ}d{z}_{I}\wedge d{\bar{z}}_{J}.\end{eqnarray}

Die Prägarbe \begin{eqnarray}U\mapsto {\varepsilon }^{p,q}(U):=\{\omega \in {\varepsilon }^{p+q}(U);\omega \text{ ist eine}\ (p,q)-\text{Form}\}\end{eqnarray} ist ein lokal freier ϵ-Modul ϵ^p,q vom Rang \(\left(\begin{array}{c}n\\ p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ q\end{array}\right)\), und \begin{eqnarray}{\varepsilon }^{r}={\oplus }_{p+q=r}{\varepsilon }^{p,q},{\varepsilon }^{0,0}=\varepsilon 0=\varepsilon.\end{eqnarray}

Die äußere Ableitung d : ϵ⁰ → ϵ¹ = ϵ^1,0 ⊕ E^0,1 spaltet auf in \(d=\partial +\bar{\partial }\), wobei in lokalen Koordinaten z₁, …, z_n\begin{eqnarray}\partial :{\varepsilon }^{0,0}\to {\varepsilon }^{1,0},f\mapsto \displaystyle \sum _{j=1}^{n}{f}_{j}\frac{\partial }{\partial {z}_{j}}d{z}_{j},\\ \bar{\partial }:{\varepsilon }^{0,0}\to {\varepsilon }^{0,1},f\mapsto \displaystyle \sum _{j=1}^{n}{f}_{j}\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_{j}}d{\bar{z}}_{j}.\end{eqnarray}

Diese Zerlegung erstreckt sich auf alle \(r:d=\partial +\bar{\partial }:{\varepsilon }^{r}\to {\varepsilon }^{r+1}\), wobei ∂ : ϵ^p,q → ϵ^p+1,q und \(\bar{\partial }:{\varepsilon }^{p,q}\to {\varepsilon }^{p,q+1}\) ℂ-linear und in lokalen Koordinaten bestimmt sind durch \begin{eqnarray}\partial (\displaystyle \sum {f}_{IJ}d{z}_{I}\wedge d{\bar{z}}_{J})=\displaystyle \sum \partial {f}_{IJ}\wedge d{z}_{I}\wedge d{\bar{z}}_{J}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\bar{\partial }(\displaystyle \sum {f}_{IJ}d{z}_{I}\wedge d{\bar{z}}_{J})=\displaystyle \sum \bar{\partial }{f}_{IJ}\wedge d{z}_{I}\wedge d{\bar{z}}_{J}.\end{eqnarray}

Aus der Identität \begin{eqnarray}0={d}^{2}={\partial }^{2}+(\bar{\partial }\partial +\partial \bar{\partial })+{\bar{\partial }}^{2}\end{eqnarray} folgt \begin{eqnarray}{\partial }^{2}=0,{\bar{\partial }}^{2}=0,\bar{\partial }\partial +\partial \bar{\partial }=0.\end{eqnarray}

Man nennt ∂ und \(\bar{\partial }\) die Dolbeault-Ableitungen. Für ω ∈ ϵ^p,q und η ∈ ϵ^r,s gilt \begin{eqnarray}\partial (\omega \wedge \eta )=\partial \omega \wedge \eta +{(-1)}^{p+q}\omega \wedge \partial \eta \end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\partial (\omega \wedge \eta )=\bar{\partial }\omega \wedge \eta +{(-1)}^{p+q}\omega \wedge \bar{\partial }\eta \text{.}\end{eqnarray}