Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Differentiation der Summenfunktion einer Reihe

von Gaston Darboux im Jahre 1875 gefundener Satz, der besagt, daß die Summenfunktion einer Reihe differenzierbarer Funktionen differenzierbar ist und man die Ableitung durch gliedweises Differenzieren erhält, wenn die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert.

Genauer gilt:

Es sei −∞ < a < b< ∞. Sind für n ∈ ℕ die Funktionen fn : [a, b] → ℝ differenzierbar, und ist f : [a, b] → ℝ mit\begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{f}_{n}(x)\end{eqnarray}für x ∈ [a, b] und φ : [a, b] → ℝ mit\begin{eqnarray}\phi (x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{{f}^{^{\prime} }}_{n}(x)\end{eqnarray}

gleichmäßig für x ∈ [a, b], dann ist f differenzierbar und es gilt f′ = ϕ.

Der Satz von Darboux folgt aus dem Satz über die Differentiation der Grenzfunktion.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.