Lexikon der Mathematik: differenzierbare Mengenfunktion
Verallgemeinerung des Ableitungs- bzw. Differenzierbarkeitsbegriffs auf Mengenfunktionen.
Es sei Ω eine Menge, \({\mathscr{A}}\) ein σ-Mengenring auf Ω mit einer isotonen Folge (An|n ∈ ℕ) ⊆ \({\mathscr{A}}\) mit \({\cup }_{n\in {\mathbb{N}}}{A}_{n}=\omega \), und Φ ein signiertes Maß auf \({\mathscr{A}}\).
- Sei \({\mathscr{N}}={\cup }_{n\in {\mathbb{N}}}{{\mathscr{N}}}_{n}\) ein Netz auf Ω bzgl. \({\mathscr{A}}\). Φ heißt im Punkt ω ∈ Ω bzgl. \({\mathscr{N}}\) und μ differenzierbar, falls
\begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{N}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{\Phi ({N}_{n}(\omega ))}{\mu ({N}_{n}(\omega ))}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{V}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{\Phi ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}{\mu ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}\end{eqnarray}
existiert, wobei Vϵ(ω) ∈ \({\mathscr{V}}\) ist mit μ(Vϵ(ω)) < ϵ, und ω ∈ Vϵ(ω). Es heißt \({D}_{{\mathscr{V}}}\Phi \) die Ableitung oder gewöhnliche Ableitung von Φ bzgl. \({\mathscr{V}}\) und μ.\begin{eqnarray}{\bar{D}}_{{\mathscr{V}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}\text {sup}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{\Phi ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}{\mu ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}\end{eqnarray}
heißt obere Ableitung von Φ bzgl. \({\mathscr{V}}\) und μ, oder auch gewöhnliche obere Ableitung von Φ, entsprechend\begin{eqnarray}{\hat{D}}_{{\mathscr{V}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}\text {inf}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{\Phi ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}{\mu ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{A}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{\Phi ({A}_{n})}{\mu ({A}_{n})}\end{eqnarray}
existiert, wobei (An|n ∈ ℕ) ⊆ \({\mathscr{A}}\) eine gegen ω regulär konvergente Mengenfolge ist. \({D}_{{\mathscr{A}}}\Phi \) heißt die Ableitung von Φ bzgl. A und μ.Falls (An|n ∈ ℕ) ⊆ \({\mathscr{A}}\) regulär konvergent gegen ω0 ∈ Ω ist und ω0 Lebesgue-Punkt einer bzgl. \({\mathscr{A}}\) und μ integrierbaren Funktion φ ist, gilt
\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{\mu ({A}_{n})}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{A}_{n}}\varphi (\omega )d\mu (\omega )=\varphi ({\omega }_{0}).\end{eqnarray}
Mit Φ : \({\mathscr{A}}\) → ℝ, definiert durch
\begin{eqnarray}\Phi (A):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}\varphi (\omega )d\mu (\omega ),\end{eqnarray}
gilt für die Ableitung \({D}_{{\mathscr{A}}}\Phi \) von Φ bzgl. \({\mathscr{A}}\)
\begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{A}}}\Phi ({\omega }_{0})=\varphi ({\omega }_{0})\end{eqnarray}
an jedem Lebesgue-Punkt von ω0 von ϕ.
Ist Φ bzgl. μ ein absolut stetiges signiertes Maß, so stimmen alle drei Ableitungen μ-fast überall mit der Radon-Nikodym-Ableitung von Φ bzgl. μ überein.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.