eine Summe von Teilräumen, bei der die Summenbildung eindeutig ist.

Es seien V ein Vektorraum und U₁,…,U_n Teilräume von V. Dann versteht man unter der Summe der Teilräume U₁,…,U_n den Teilraum U = U₁ + U₂ + ⋯ + U_n = {x ∈ V|x = x₁ + x₂ + ⋯ + x_n, x_i ∈ U_i}. Die Summe der Teilräume heißt direkte Summe, falls für jedes x ∈ U₁ + U₂ + ⋯ + U_n die Darstellung als Summe von Elementen aus den U_i eindeutig ist, das heißt, wenn aus x₁ + ⋯ + x_n = y₁ + ⋯ + y_n mit x_i, y_i ∈ U_i stets folgt: x_i = y_i für i = 1, …, n. Man schreibt dann

\begin{eqnarray}U=\underset{i=1}{\overset{n}{\oplus }}{U}_{i}.\end{eqnarray}

Ein Vektorraum W mit V = U ⊕ W heißt direktes Komplement (in V) von U. In einem endlichdimensionalen Vektorraum V besitzt jeder Unterraum U ein direktes Komplement.

Eine wichtige Verwendung direkter Summen von Teilräumen findet man bei der Betrachtung von Eigenräumen einer Matrix. Sind nämlich λ₁,…, λ_m paarweise verschiedene Eigenwerte einer Matrix und bezeichnet man die zugehörigen Eigenräume mit E₁, …, E_m, so ist die Summe aus diesen Eigenräumen eine direkte Summe.