Lexikon der Mathematik: Dirichletsche Formeln
Aussagen über den Differentialoperator, wie er etwa im Sturm-Liou-villeschen Randwertproblem auftaucht.
Seien n ∈ ℕ, rk, sk ∈ ℕ0, I ⊂ ℝ ein Intervall und ak : I → ℝ sowohl rk-mal als auch sk-mal differenzierbar für alle k ∈ {0,…, n}. Für den Differentialoperator L, definiert durch
\begin{eqnarray}Ly:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\left[{a}_{k}(x){y}^{({r}_{k})}\right]}^{({s}_{k})},\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\displaystyle \int v\,Lu\,dx=\displaystyle \int \displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1){a}_{k}(x){u}^{({r}_{k})}{v}^{({s}_{k})}dx+R[u, v].\end{eqnarray}
Dabei ist
\begin{eqnarray}R[u,\,v]:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\displaystyle \sum _{p,q\\ p+q={s}_{k}-1}{(-1)}^{p}{({a}_{k}{u}^{({r}_{k})})}^{(q)}{v}^{(p)}.\end{eqnarray}
Einen entsprechenden Ausdruck erhält man auch für ∫ uL*vdx, wobei L* der zu L adjungierte Operator ist.
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