das Produkt aller quadrierten Differenzen zwischen den Nullstellen eines Polynoms.

Es seien K ein Körper und

\begin{eqnarray}f(x)={x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\ldots +{a}_{1}x+{a}_{0}\end{eqnarray}

Dann besitzt f in einem Zerfällungskörper von f genau n Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt) λ₁, …, λ_n. Unter der Diskriminante von f versteht man das Produkt

\begin{eqnarray}\Delta (f)=\displaystyle \prod _{1\le i\lt j\le n}{({\lambda }_{i}-{\lambda }_{j})}^{2}.\end{eqnarray}

Der Name rührt daher, daß die Diskriminante zwischen Polynomen mit wenigstens einer mehrfachen Nullstelle und solchen mit nur einfachen Nullstellen unterscheidet (diskriminiert):

Δ(f) verschwindet genau dann, wenn f(x) eine mehrfache Nullstelle besitzt.

Die Diskriminante ist eine symmetrische Funktion der Nullstellen und läßt sich daher als Polynom der elementarsymmetrischen Funktionen der Nullstellen, also der Koeffizienten a₀, …, a_n−1 des Polynoms f(x) darstellen.

Damit gilt immer \(\Delta (f)\,\in \,{\mathbb{K}}\), und man kann Δ(f) durch einen algebraischen Algorithmus aus den Koeffizienten von f errechnen. Beispielsweise erhält man für ein quadratisches Polynom

\begin{eqnarray}f(x)={x}^{2}+ax+b\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\Delta (f)={a}^{2}-4b\end{eqnarray}