Lexikon der Mathematik: Dolbeault-Kohomologie
wichtige Kohomologiegruppe in der Funktionentheorie mehrerer Variabler.
Sei \({ {\mathcal E} }^{p,q}\) die Garbe der Keime von beliebig oft differenzierbaren Differentialformen vom Typ (p, q). Die Garbe der Keime der holomorphen (p, 0)-Formen auf X wird mit Ω
\begin{eqnarray}\varphi =\displaystyle \sum _{1\le {i}_{1}\le \ldots \lt {i}_{p}\le n}{a}_{{i}_{1}\ldots {i}_{p}}d{z}_{{i}_{1}}\wedge \ldots \wedge d{z}_{{i}_{p}}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}0\to {\Omega }^{p}\mathop{\hookrightarrow }\limits^{\varepsilon }{ {\mathcal E} }^{p,0}\buildrel\bar{\partial} \over \longrightarrow{ {\mathcal E} }^{p,1}\buildrel\bar{\partial} \over \longrightarrow{ {\mathcal E} }^{p,2}\to \ldots \,.\end{eqnarray}
Die induzierte Sequenz
\begin{eqnarray}0\to \Gamma (X,{\Omega }^{p})\buildrel\varepsilon\over\longrightarrow \Gamma (X,{\varepsilon }^{p,0})\buildrel\bar{\partial} \over \longrightarrow \Gamma (X,{\varepsilon }^{p,1}){\to }\ldots\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{H}^{p,q}(X):=\displaystyle\frac{\text{Ker}\,\text{(}\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q})\mathop{\to }\limits^{\varepsilon }\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q+1})\text{)}}{\mathrm{Im}\,(\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q-1})\mathop{\to }\limits^{\varepsilon }\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q}))}\end{eqnarray}
nennt man die Dolbeaultschen Gruppen. Man vergleiche hierzu auch das Stichwort Dolbeault, Satz von.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.