die S³ mit Radius r ∈ ℝ, r > 0, bestehend aus den Punkten (x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ ℝ⁴ mit

\begin{eqnarray}{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+{x}_{3}^{2}+{x}_{4}^{2}={r}^{2}.\end{eqnarray}

Sie ist eine dreidimensionale kompakte, differenzierbare (sogar reell-analytische) Mannigfaltigkeit.

Entfernt man einen Punkt (etwa n = (0, 0, 0, r)) so ist der Rest diffeomorph zu ℝ³.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß es hier oft zu Begriffsverwirrungen kommt, da man fälschlicherweise auch die Sphäre im ℝ³, also die S², als dreidimensionale Sphäre bezeichnet. Die jeweilige Bedeutung muß dem Kontext entnommen werden.