die Aufgabe, eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal zu finden, die es erlaubt, einen beliebigen Winkel ϕ in drei gleiche Abschnitte zu teilen.

Diese Aufgabe ist unlösbar. Sie führt auf die kubische Gleichung

\begin{eqnarray}4{x}^{3}-3x-\alpha =0\,\,\,\text{mit}\,\,\alpha =3\,\cos \varphi.\end{eqnarray}

Für generisches ϕ ist diese Gleichung irreduzibel über ℚ(α), und somit liegt jede Lösung dieser Gleichung in einem Erweiterungskörper vom Grad 3 über ℚ(α).

Wie die Galois-Theorie zeigt, sind durch Konstruktion mit Zirkel und Lineal nur Elemente aus Körpererweiterungen zu erhalten, deren Grad eine Zweierpotenz ist. Insbesondere besitzen diese Körper keine Unterkörper vom Grad 3.

Es sei aber darauf hingewiesen, daß für spezielle Werte des Winkels ϕ eine Konstruktion möglich ist.