Aussage über die Darstellung von Operatoren auf L¹(μ) als Integraloperatoren:

Sei T : L¹(Ω, Σ, μ) → Y einschwach kompakter Operator mit Werten in einem Banachraum Y. Dann existiert eine beschränkte Bochner-integrierbare Funktion f : Ω → Y (Bochner-Integral) mit

\begin{eqnarray}{T}_{\varphi }=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }f\varphi d\mu \,\,\forall \varphi \in {L}^{1}(\mu ).\end{eqnarray}

Daraus folgt, daß jeder schwach kompakte Operator auf L¹(μ) vollstetig ist und schwach kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet; insbesondere ist das Quadrat eines schwach kompakten Operators aufL¹(μ) kompakt. Ein Banachraum, der diese Eigenschaft mit L¹ teilt, hat definitionsgemäß die von Grothendieck eingeführte Dunford-Pettis-Eigenschaft; Beispiele sind alle C(K)-Räume oder die Disk-Algebra A(\({\mathbb{D}}\)) (Funktionenräume). Genau dann hat X die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für schwache Nullfolgen (x_n) ⊂ X und \(({x}_{n}^{\prime})\,\subset \,X^{\prime}\) (schwache Konvergenz) stets \({x}_{n}^{\prime}({x}_{n})\,\to \,0\) folgt.

Ist Y reflexiv, so ist jeder stetige lineare Operator T : L¹(μ) → Y gemäß (1) darstellbar; das gilt nicht mehr für beliebige Banachräume, wohl aber für separable Dualräume Y oder, allgemeiner, Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft.

[1] Diestel,J.; Uhl,J.: Vector Measures. American Mathematical Society, 1977.