Satz über das Auseinanderfallen der Begriffe der absoluten und unbedingten Konvergenz in unendlichdimensionalen Banachräumen:

In jedem unendlichdimensionalen Banachraum X existiert zu einer Folge (λ_n) positiver Zahlen mit \(\displaystyle {\sum }_{n}{\lambda }_{n}^{2}\,\lt \,\infty \)eine Folge (x_n) mit ∥x_n∥ = λ_nso, daß die Reihe Σ_nx_nunbedingt konvergiert.

Wählt man speziell λ_n = 1/n, erhält man eine unbedingt konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert.

[1] Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L.: Classical Banach Spaces I. Springer Berlin/Heidelberg, 1977.