eine meromorphe Funktionf: G₁ → G₂ (wobei G₁, G₂ ⊂ ℂ Gebiete sind) mit folgender Eigenschaft: Es existiert eine Zahl k ∈ ℕ derart, daß jedes a ∈ G₂ genau k Ürbilder in G₁ hat, wobei die Vielfachheit zu berücksichtigen ist. Genauer bedeutet dies: Zu jedem a ∈ G₂ gibt es ℓ ≤ k verschiedene Punkte z₁,…,z_l ∈ G₁ mit f (z_j) = a für j = 1,…,ℓ und \begin{eqnarray}v(f,{z}_{1})+\ldots +v(f,{z}_{l})=k,\end{eqnarray} wobei v(f, z_j) die Vielfachheit der a-Stellez_j bezeichnet. Im Fall a = ∞ ist v(f, z_j) durch die Polstellenordnung von z_j zu ersetzen. Die Zahl k heißt der Abbildungsgrad von f und wird mit k = deg f bezeichnet. Man schreibt auch \(f:{G}_{1}\mathop{\to }\limits^{k:1}{G}_{2}\). Eine eigentliche meromorphe Abbildung f: G₁ → G₂ ist also insbesondere surjektiv.

Einige Beispiele:

Es sei \begin{eqnarray}R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{{a}_{n}{z}^{n}+\cdots +{a}_{1}z+{a}_{0}}{{b}_{m}{z}^{m}+\cdots +{b}_{1}z+{b}_{0}}\end{eqnarray} eine rationale Funktion mit teilerfremden Polynomen P, Q und a_n ≠ 0, b_m ≠ 0. Dann ist R eine eigentliche holomorphe Abbildung von \(\mathop{{\mathbb{C}}}\limits^{\wedge }\) auf \(\mathop{{\mathbb{C}}}\limits^{\wedge }\) vom Grad k = degR = max {m, n}. Dabei setzt man R(z₀) := ∞ to, falls z₀ ∈ ℂ eine Polstelle von R ist, R(∞) := ∞, falls n >m, R(∞) := 0, falls n< m und R(∞) := a_n/b_n, falls n = m.

Eine konforme Abbildung von G₁ auf G₂ ist eine eigentliche Abbildung vom Grad Eins.

Eine eigentliche Abbildung f:G₁ → G₂ heißt unverzweigt, falls f keine kritischen Punkte in G₁ besitzt, andernfalls heißt sie verzweigt.

Zur äquivalenten Umformulierung des Begriffs der eigentlichen Abbildung führt man folgende Redewendung ein. Eine meromorphe Funktion f: G₁ → G₂ bildet Randfolgen in Randfolgen ab, falls für jede Folge (z_n) in G₁ mit \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{z}_{n}=\zeta \) für ein ζ ∈ ∂G₁ die Bildfolge (f(z_n)) alle ihre Häufungspunkte auf ∂G₂ hat. Man beachte dabei, daß die Folge (f(z_n)) nicht konvergent sein muß. Dann sind folgende Eigenschaften für eine meromorphe Funktion f: G₁ → G₂ äquivalent:

1. f ist eine eigentliche Abbildung.
2. f bildet Randfolgen in Randfolgen ab.
3. Das Urbild f⁻¹ (K) jeder kompakten Menge K ⊂ G₂ ist kompakt in G₁.

Man vergleiche auch das eng verwandte Stichwort eigentliche holomorphe Abbildung.