die Theorie der Riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren metrischer Fundamentaltensor positiv definit ist.

Der Sprachgebrauch ist nicht einheitlich. Oft setzt man voraus, daß Riemannsche Mannigfaltigkeiten von vornherein einen positiv definiten metrischen Tensor haben und nennt die übrigen pseudoriemannsch.

Aus dem metrischen Fundamentaltensor werden geometrische Grundgrößen abgeleitet, wie die Bogenlänge, der Winkel zwischen zwei Kurven, das Volumen eines Gebietes, die Krümmung, die durch den Riemannschen Krümmungstensor ausgedrückt wird, und schließlich die Parallelübertragung von Vektoren längs Kurven und der Begriff der geodätischen Linie.

Es gibt viele Gemeinsamkeiten zwischen Riemannscher Geometrie und pseudoriemannscher.

Der gravierendste Unterschied besteht darin, daß in pseudoriemannschen Mannigfaltigkeiten geometrische Begriffe, die aus der Bogenlänge und der inneren Metrik abzuleiten sind, nicht mehr in gewohnter Weise definiert werden können. Beispielsweise würde die übliche Definition des Winkels zwischen zwei Kurven verlangen, daß die Längen der Tangentialvektoren der Kurven nicht Null sind.