Familie {φ_t : M → M}_t∈ℝ von Diffeomorphismen auf einer MannigfaltigkeitM, für die gilt:

1. φ₀ = id_M,
2. \({\phi }_{-t}=\text{}\text{}\text{}{\phi }_{t}{}^{-1}\) für alle t ∈ ℝ,
3. φ_s+t = φ_s ○ φ_t fur alle s, t ∈ ℝ.

Für eine Untermannigfaltigkeit N ⊂ M × ℝ der Form \begin{eqnarray}N=\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{m\in M}(T_{-}(m),{T}_{+}(m))\end{eqnarray} mit T₋(m), T₊(m) > 0 für alle m ∈ M heißt eine Abbildung Φ : U → M lokale Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen (auf M), falls

1. Φ(m, 0) = m, und
2. Φ(Φ(m, t), s) = Φ(m, s + t)

Eine Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen (auf M) induziert einen Fluß (M, ℝ, Φ) mit Φ(m, t) ≔ φ_t(m) für alle m ∈ M, t ∈ ℝ.

Eine differenzierbare lokale Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen induziert ein Vektorfeld \begin{eqnarray}M\ni m\mapsto \frac{d}{dt}{\rm{\Phi }}(m,t){|}_{t=0},\end{eqnarray} den sog. infinitesimalen Erzeuger von Φ. Umgekehrt wird durch jedes differenzierbare Vektorfeld f auf M eine Differentialgleichung auf M induziert, deren (lokale) Lösungen eine lokale Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen auf M induzieren.