Lexikon der Mathematik: einseitige Ableitung
Überbegriff für die linksseitige Ableitung \({f}_{-}^{^{\prime} }\) und die rechtsseitige Ableitung \({f}_{+}^{^{\prime} }\) einer auf einem offenen Intervall I ⊂ ℝ definierten Funktion f : I → ℝ.
An den Stellen a ∈ I, für die sowohl \({f}_{-}^{^{\prime} }(a)\) als auch \({f}_{+}^{^{\prime} }(a)\) existiert und \({f}_{-}^{^{\prime} }(a)={f}_{+}^{^{\prime} }(a)\) gilt, ist f differenzierbar und hat die Ableitung
Es gibt höchstens abzählbar viele Stellen a ∈ I, für die \({f}_{-}^{^{\prime} }(a)\) und \({f}_{+}^{^{\prime} }(a)\) existieren, aber
Das einfachste Beispiel einer Funktion, die an einer Stelle links- und rechtsseitig differenzierbar, aber nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion: Die Funktion | · | : ℝ → [0, ∞) ist differenzierbar in ℝ \ {0} mit |x|′ = −1 für x< 0 und |x|′ = 1 für x > 0. An der Stelle 0 aber gilt
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.