Lexikon der Mathematik: einseitiger Grenzwert
Überbegriff für die Ausdrücke linksseitiger Grenzwert oder rechtsseitiger Grenzwert.
Es sei D ⊂ ℝ und f : D → ℝ. Unter der Annahme, daß zu einem x0 ∈ ℝ eine Folge (xn) in D mit xn< x0 und xn → x0 (n → ∞) existiert (x0 muß von links aus durch Elemente von D approximierbar sein), ist der linksseitige Grenzwert wie folgt definiert:
Hierbei ist ℓ ∈ ℝ ∪ {−∞, ∞} zugelassen. Für ϵ ∈ (0, ∞) seien dabei
Anstelle von
Natürlich hat man ganz analog – Übergang x ↦ −x, d. h. Spiegelung an der y-Achse – unter der Voraussetzung, daß nun eine Folge (xn) in D mit xn >x0 und xn → x0 (n → ∞) existiert, rechtsseitige Grenzwerte. Hier wird entsprechend statt \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{x}_{0}\lt x\to {x}_{0}}f(x)\) auch \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to {x}_{0}+}f(x)\) notiert.
Zwei Beispiele dazu:
Die Vorzeichen-Funktion
Es ist f(0) = 0, \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{0\lt x\to 0}f(x)=1\) und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{0\gt x\to 0}f(x)=-1\).
Die beiden einseitigen Grenzwerte existieren also, stimmen aber in 0 nicht überein.
Die Funktion
Für den Beweis etwa der ersten Grenzwertaussage beachtet man, daß für x ∈ D
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