Lexikon der Mathematik: Einsteinsche Mannigfaltigkeit
Einstein-Raum, eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g), deren Ricci-Tensor ein konstantes Vielfaches des metrischen Fundamentaltensors ist.
Sind Sij und gij die Komponenten des Ricci-Tensors bzw. des metrischen Fundamentaltensors in bezug auf ein lokales Kordinatensystem von M, so ist (M, g) eine Einsteinsche Mannigfaltigkeit, wenn es eine Konstante λ gibt mit
Die Zahl λ wird manchmal die mittlere Krümmung von M genannt, darf aber nicht mit der mittleren Krümmung von Flächen im ℝ3 verwechselt werden.
M ist genau dann eine Einsteinsche Mannigfaltigkeit, wenn die Ricci-Krümmung von M konstant ist.
Der Begriff der Einsteinschen Mannigfaltigkeit ist nur für Dimensionen n ≥ 4 von eigenständigem Interesse, da er für n = 2 und n = 3 mit dem des Raumes konstanter Krümmung zusammenfällt. Für n ≥ 2 ist jede Mannigfaltigkeit M konstanter Schnittkrümmung k eine Einsteinsche Mannigfaltigkeit mit der mittleren Krümmung
Das ursprüngliche Interesse an Einsteinschen Mannigfaltigkeiten kommt von der Interpretation der Einsteinschen Bedingung S = 0 als Feldgleichung eines massefreien Gravitationsfeldes (Einsteinschen Feldgleichungen). Es gibt aber auch innermathematische Gründe für die besondere Rolle der Gleichung Sij = λgij. Diese liegen in der algebraischen Zerlegung des Raumes aller Krümmungstensoren in irreduzible Komponenten mit Methoden der Darstellungstheorie.
Es seien h und k zwei symmetrische Bilinearformen auf einem n-dimensionalen Vektorraum E, und q eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf E. Wir bezeichnen mit h * k die durch
Ferner sei \({\mathscr{C}}(E)\subset {\otimes }^{4}E* \) der Raum der Multilinearformen vierter Stufe, die die erste Bianchi-Identität erfüllen und die Symmetrieeigenschaften des Riemannschen Krümmungstensors haben. Die Operation h * k ist eine bilineare Abbildung, die jedem Paar symmetrischer Bilinearformen ein Element aus \({\mathscr{C}}(E)\) zuordnet.
\({\mathscr{C}}(E)\) ist ein Vektorraum, auf dem die Gruppe O(q) der linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt q invariant lassen, wirkt. Dann zerfällt \({\mathscr{C}}(E)\) in die direkte Summe
Diese Zerlegung überträgt sich auf das entsprechende Tensorbündel einer jeden n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g), sodaß der Krümmungstensor R von (M, g) ein analoge invariante Zerlegung
Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind dadurch charakterisiert, daß die \({R}_{{\mathscr{Z}}(E)}\)-Komponente des Riemannschen Krümmungstensors Null ist.
[1] Besse, A.L.: Einstein Manifolds. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1987.
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