Lexikon der Mathematik: elementare Erweiterung einer L-Struktur
folgende Art der Vergrößerung einer L-Struktur.
Sind \({\mathscr{A}}\), \({\mathscr{B}}\)L-Strukturen und ist \({\mathscr{A}}\) eine Unterstruktur oder Teilstruktur von \({\mathscr{B}}\) und \(L\text{(}{\mathscr{A}}\text{)}\) die Erweiterung der elementaren Sprache L, die aus L dadurch entsteht, daß für jedes Element a der Trägermenge von \({\mathscr{A}}\) ein Individuenzeichen \(\mathop{a}\limits_{\_}\) zu L hinzugenommen wird, dann heißt \({\mathscr{B}}\) elementare Erweiterung von \({\mathscr{A}}\) (und \({\mathscr{A}}\) elementare Unterstuktur von \({\mathscr{B}}\)), wenn für jede L-Formelϕ(x1, …, xn) und alle Elemente a1, …, an aus der Trägermenge von \({\mathscr{A}}\) gilt:
Als geordnete Mengen sind die Strukturen \({\mathscr{A}}:=\langle {\mathbb{N}}\backslash \{0\},\lt \rangle \) und \( {\mathcal B} :=\langle {\mathbb{N}},\lt \rangle \) offenbar isomorph und daher bezüglich der elementaren Sprache für die Ordnung elementar äquivalent. Weiterhin ist \({\mathscr{A}}\subseteq {\mathcal B} \), aber nicht \({\mathscr{A}}\preccurlyeq {\mathcal B} \), denn die Aussage
Für abzählbare Sprachen läßt sich mit Hilfe des Endlichkeitssatzes zu jeder algebraischen Struktur mit einer Mächtigkeit \(\kappa \gt {\aleph }_{0}\) und jeder Kardinalzahl \(\kappa ^{\prime} \ge \kappa \) eine elementare Erweiterung \({\mathscr{B}}\) von \({\mathscr{A}}\) finden, deren Mächtigkeit \(\ge \kappa ^{\prime} \) ist. Weiterhin existiert für jede unendliche Kardinalzahl \(\kappa ^{\prime} \le \kappa \) eine elementare Unterstruktur \({\mathscr{C}}\) von \({\mathscr{A}}\), deren Mächtigkeit κ′ ist.
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