derjenige Teil der Zahlentheorie, der mit elementaren Methoden auskommt.

Hierbei bedeutet der etwas verschwommene Begriff „elementar“ etwa soviel wie „ohne Hilfsmittel aus der höheren Algebra oder höheren Analysis“. Elementare Methoden und Themen sind z. B. das Rechnen mit Restklassen, Teilbarkeitslehre, Kombinatorik, Zahldarstellungen in einem Stellenwertsystem oder durch einen Kettenbruch, Fehlerabschätzungen zur Asymptotik zahlentheoretischen Funktionen, solange keine Hilfsmittel aus der „höheren“ Analysis wie z. B. Funktionentheorie oder Integrationstheorie benutzt werden.

„Elementar“ darf keineswegs mit „einfach“ verwechselt werden: Z.B. gibt es von Erdős und Selberg elementare Beweise des Primzahlsatzes, die aufwendiger sind und deren Struktur weniger leicht durchschaubar ist als das etwa bei den funktionentheoretischen Beweisvarianten der Fall ist.

Zahlreiche klassische Probleme der Zahlentheorie haben eine elementare Problemstellung, während die Methoden zu ihrer Lösung oder zum Beweis von Teilresultaten keineswegs elementar sind. Ein Beispiel für ein unter massivem Einsatz nichtelementarer Mathematik gelöstes Problem ist die Fermatsche Vermutung.

Der Übergang von der elementaren zur „nichtelementaren“ oder „höheren“ Zahlentheorie ist fließend und läßt sich z. B. in der additiven Zahlentheorie gut verfolgen. Dort kann man zunächst mit kombinatorischen Techniken einiges beweisen, bei weitergehenden Fragestellungen wird es zunehmend interessanter, aus der Funktionentheorie oder der Integrationstheorie stammende Argumentationsweisen zu benutzen, und bei den ungelösten Problemen sieht es so aus, als ob selbst kompliziertere Hilfsmittel nicht ausreichen oder noch nicht weit genug entwickelt sind.

Als Übergang von der elementaren zur algebraischen Zahlentheorie kann man etwa die Gaußschen Untersuchungen über binäre quadratischen Formen anführen, indem dort algebraische Methoden wie etwa Gaußsche Zahlen zur Lösung elementarer Problemstellungen benutzt werden.