eine glatte projektive algebraische KurveC vom Geschlecht 1, bei der ein Punkt ausgezeichnet ist.

Durch die Auszeichnung eines Punktes 0 erhält man eine Addition so, daß C zu einer abelschen Mannigfaltigkeit wird. Die Summe von zwei Punkten P, Q ist durch \begin{eqnarray}\{P+Q\}\in |\{P\}+\{Q\}-\{0\}|\end{eqnarray} definiert, wobei hier {P} den Punkt P als Element der Divisorengruppen bezeichnet. Die Kurve läßt sich in ℙ² so als kubische Kurve einbetten, daß 0 ein Wendepunkt ist. Die Addition ist dann charakterisiert durch die Eigenschaft \begin{eqnarray}P+Q+R=0\iff P,Q,R\,\text{auf}\,\text{einer}\,\text{Geraden}\,\text{in}\,{{\mathbb{P}}}^{2}.\end{eqnarray}

Durch geeignete Wahl von Koordinaten läßt sich die Gleichung der Kurve auf Normalform y² = f (x) bringen (in affinen Koordinaten), mit einem normierten Polynom dritten Grades, falls die Charakteristik des Körpers ungleich 2 ist, (und f = x³ + ax + b, falls char(k) ≠ 2, 3), und zwar so, daß 0 der „im Unendlichen“ liegende Punkt der Kurve ist. Umgekehrt definiert jede solche Gleichung eine elliptische Kurve, wenn f keine mehrfache Nullstelle hat.

Für f = x³ + ax + b ist ∆ = 4a³ + 27b² die Diskriminante, und \(j=1728\frac{4{a}^{3}}{\Delta }\) die sog. absolute Invariante der Kurve. Bis auf Isomorphie ist die Kurve durch j bestimmt (über algebraisch abgeschlossenen Körpern).

Für k = ℂ ist die Theorie zuerst mit analytischen Methoden entwickelt worden. Bei verschiedenen geometrischen oder physikalischen Problemen treten beispielsweise elliptische Integrale auf (z. B. bei der Berechnung der Bogenlänge auf Ellipsen). So ist z. B. \begin{eqnarray}z=\displaystyle \underset{{u}_{0}}{\overset{u}{\int }}\frac{dx}{y}\end{eqnarray} als Funktion von u eine (mehrdeutige) analytische Funktion, und die Umkehrfunktion z(u) ist eine eindeutige meromorphe Funktion mit zwei unabhängigen Perioden. In dieser Form sind „elliptische Funktionen“ zuerst aufgetreten.

Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts stehen arithmetische Aspekte im Zentrum der Theorie. Wenn die Kurve und der Punkt 0 über einem Körper k₀ definiert sind, so lassen sich auch a, b bzw. die Koeffizienten von f über k₀ definieren, ebenso das Gruppengesetz. Ist E|k₀ ein Schema, welches die Kurve definiert, und so, daß 0 ∈ E(k₀), so ist einiges über die Gruppe bekannt, z. B. der Satz von Mordell:

Wenn k₀ein algebraischer Zahlkörper ist, so ist E(k₀) endlich erzeugt.

Weiterhin gilt der Satz von Lutz-Nagell:

Sei k₀ = ℚ und y² = x³ + ax + b Gleichung für E, wobei o.B.d.A. a, b ∈ ℤ.

Für Torsionspunkte der Ordnung 2 ist y = 0 (also x³ + ax + b = 0), für die anderen Torsionspunkte P aus E(ℚ) gilt\begin{eqnarray}x(P),y(P)\in {\mathbb{Z}}\,\,\mathrm{und}\,\,y{(P)}^{2}\,\,\text{teilt}\,\,{a}^{3}+27{b}^{2},\end{eqnarray} und der Satz von Mazur:

Wenn k₀ = ℚ, so ist die Torsionsuntergruppe von E(ℚ) entweder zyklisch von der Ordnung ≤ 10 oder 12, oder direkte Summe einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2 mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2, 4, 6 oder 8.

Schwieriger und bisher ungelöst ist die Bestimmung des Ranges r von E(ℚ) (oder E(k₀), [k₀ : ℚ] < ∞). Vermutet wird, daß r gleich der Ordnung ist, mit der die zugehörige L-Reihe \({L}_{E|{k}_{0}}(s)\) in s = 1 verschwindet.

Die L-Reihe ist a priori nur für \(Re(s)\gt \frac{3}{2}\) definiert, nur in gewissen Fällen ist eine analytische Fortsetzung bekannt. Vermutet wird, daß sie sich immer zu einer ganzen Funktion fortsetzen läßt (Hasse-Weil-Vermutung).

In den letzten Jahren sind elliptische Kurven im Zusammenhang mit dem Beweis der Fermatschen Vermutung in den Mittelpunkt des Interesses gerückt. Einer nicht-trivialen, relativ primen ganzahligen Lösung (α, β, γ) der Gleichung X^l + Y^l + Z^l = 0 (l ≥ 5 Primzahl), bis auf Permutation o.B.d.A. β gerade und α^l ≡ −1 mod 4, wird die Kurve \begin{eqnarray}{y}^{2}=x(x-{\alpha }^{l})(x-{\beta }^{l})\end{eqnarray} zugeordnet (G.Frey). Diese Kurve hätte aber so ungewöhnliche arithmetische Eigenschaften, daß sie nicht existiert (A.Wiles).