Lexikon der Mathematik: elliptisches Integral
ein unbestimmtes Integral der Gestalt
Sind die Koeffizienten a0, …, a4 von P reell, so kann die Berechnung eines elliptischen Integrals mit rein algebraischen Methoden auf die Berechnung von drei kanonischen Typen von Integralen zurückgeführt werden. Dies sind die Legendreschen Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung:
Dabei ist \(0\lt \varphi \lt \frac{\pi }{2}\), 0 < k< 1 und n > −1. Man nennt diese Integrale auch unvollständige elliptische Integrale. Setzt man für die obere Integrationsgrenze \(\varphi =\frac{\pi }{2}\), so heißen sie vollständige elliptische Integrale. Substituiert man x = sin t, so nehmen sie die folgende Form an:
Elliptische Integrale erster Gattung stehen in engem Zusammenhang mit elliptischen Funktionen. Dazu betrachtet man das komplexe Integral
Zu jedem Polynom P dritten oder vierten Grades mit lauter einfachen Nullstellen existiert eine nichtkonstante elliptische Funktion f mit folgender Eigenschaft : Ist D ⊂ ℂ eine offene Menge, auf der f umkehrbar ist, und ist g : f (D) → ℂ die Umkehrfunktion von f, so gilt nach geeigneter Wahl der Wurzel
Für D kann man z. B. eine hinreichend kleine Kreisscheibe um einen Punkt a ∈ ℂ, der keine Polstelle von f und keine Nullstelle von f′ ist, nehmen.
Kurz, wenn auch etwas unpräzise, kann man also sagen: Die Umkehrfunktion eines elliptischen Integrals erster Gattung ist eine elliptische Funktion.
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